( ) ( ) ( )( ) PROBLEMA Fissiamo un sistema di riferimento in cui A ( 0;0) C x y : siano α l angolo , ( ; ) l angolo ˆ

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1 Soluzioe a cura di: lessadra iglio, Liceo lassico Vittorio lfieri, Torio Giuliaa ru, Liceo Scietifico Isaac Newto, hivasso (TO) laudia hau, IRRE Val d osta toella uppari, Liceo Scietifico Galileo Ferraris, Torio PROLEM.. Fissiamo u sistema di riferimeto i cui ( 0;0), ( ; 0), ( ; ) x y : siao α l agolo ˆ e α l agolo ˆ, co 0 < α <. Ricordado che il coefficiete agolare di ua retta è la tagete trigoometrica dell agolo da essa formato col semiasse positivo delle ascisse, le equazioi delle rette y ta α x y = ta α x = taα x. Le e soo, rispettivamete, = ( ) e ( ) ( ) ( ) ( )( ) coordiate del puto si possoo determiare, i fuzioe di α, come itersezioe delle due rette: taα x = ta α + taα risolvedo il sistema si ottiee. Idicado co t = taα, ricordado che taα y = ta α ta α + taα t x = t ta α = e sostituedo, otteiamo le equazioi parametriche del luogo geometrico: t. t t y = t x Elimiiamo t, ricavado t = dalla prima relazioe e sostituedolo ella secoda, elevata al x quadrato: si ha, così, = x x, che è l equazioe del luogo geometrico γ. y ( )( ). Sviluppado i calcoli idicati, si ottiee y x + x = 0, che è l equazioe di ua iperbole cetrata el puto ;0, co parametri a= e b=, come si ota raccogliedo u fattore, y x x+ = 0, y x x+ + = 0, da cui 9 y = e completado il quadrato come x = y, che dà 9 x. Poiché per poter otteere u triagolo co ˆ = ˆ, dev essere x <, si deve cosiderare soltato il ramo di iperbole di vertice ;0. Il grafico di γ può essere

2 otteuto ache attraverso lo studio delle fuzioi y = ± x x+, sempre teedo coto delle codizioi geometriche.. Sia H l altezza relativa al lato : osserviamo che, per i teoremi sui triagoli rettagoli, H = siα e l altezza K relativa al lato è K = si α. Ricordado che =, la fuzioe da redere massima è H S( α ) = H + K = si α + si α, co 0 < α <. K Usado le formule di duplicazioe e la formula fodametale, la fuzioe si può riscrivere come S si si cos si cos α = α + α α = α + α = 5si α si α ( ) ( ). La derivata di tale fuzioe è S ' = si cos 5 8si che, ell itervallo ( α ) α α( α) cosiderato, cambia sego a secoda del sego del terzo fattore: l agolo che rede massima la somma dei quadrati è dato da β = arcsi '. a a. Posto α = 6, il triagolo risulta isoscele sulla base. Tracciado la bisettrice L dell agolo ˆ, i triagoli L, L e risultao isosceli di base, rispettivam ete, L, e, quidi = L = L e = =. Dal teorema della bisettrice risulta L: = L:, quidi L: L = L: e, applicado la proprietà del comporre, si ha ( L+ L) : L = ( L+ ) :, da cui ( ) Si coclude che soddisfa l equazioe che ha come uica soluzioe accettabile : = + :. + = 0, 5 =, c.v.d L 6

3 PROLEM. Posto H = x, co 0<x<r, si ha H = r x. L area del triagolo è pertato ( x) = DH = ( r+ x) r x. Per determiare il massimo di tale fuzioe calcoliamo x rx + r '( x) = ( x)( r+ x) + r x = r x r x Posto (x ) = 0 si ottegoo due soluzioi x= -r e x = r/; dallo studio del sego di (x) si ricava che si ha u massimo i x = r/ che corrispode al triagolo equilatero. x r D r H. o riferimeto alla figura a fiaco, l area del poligoo di lati iscritto i ua circofereza di raggio r può essere otteuta come somma delle aree degli triagoli isosceli cogrueti ad, che ha lato r, base e agolo al vertice di ampiezza. Quidi = se = r se S = = r se c.v.d. alogamete si può dire che l area del poligoo di lati circoscritto ad ua circofereza può essere otteuta come somma delle aree degli triagoli uguali avete per base il lato DE e come altezza il segmeto K. L agolo EK, metà dell agolo al vertice di ciascuo di questi triagoli, misura, quidi DE = EK = r tg K = r = DE K = r tg,, DE, poligoocir coscritto = DE = r tg E K D se se. lim lim lim lim S = r se = r = r = r. Il problema cosiste el determiare u quadrato equivalete ad u cerchio di raggio dato. eché il problema ammetta ua soluzioe i campo reale (il lato del quadrato equivalete ad u cerchio di raggio r misura ifatti l = r), tale lato o è costruibile co riga e compasso. Per questo il problema della quadratura del cerchio o è risolubile co riga e compasso, come si può vedere i u testo approfodito di geometria.

4 QUESTIONRIO. L area di u geerico triagolo equilatero di lato l è allora l area di ogi sezioe triagolare è x, quidi il volume del solido si ottiee dall itegrale seguete = = = S x dx x. 0 0 = l. Se il lato misura x,. Detti α,β,γ gli agoli del triagolo, applicado il teorema del coseo (arot) risulta: 0 = cosα da cui 7 g cos α =, α = (8,95) = 8 57 ' γ 8 alogamete β α cos β =, β = (6,57) = 6 ' e 80 6 cos γ =, γ = (0, 8) = 0 9'.. Si tratta di determiare il umero di itersezioi della cubica di equazioe y = x x co il fascio di rette orizzotali di equazioe y = k-. Dallo studio del sego della derivata prima risulta che la cubica, il cui è grafico è rappresetato ella figura a fiaco, possiede u massimo e u miimo relativo ei puti M(0; 0) e N (/; -/7). Pertato, se k- >0 cioè k>, oppure k-<, cioè 7 k< l equazioe avrà ua sola soluzioe; se k = 7 oppure k =, l equazioe avrà tre soluzioi di cui due coicideti; se 7 7 <k< l equazioe avrà tre soluzioi distite.. Detta x l altezza del coo (0<x<), il raggio di base è i fuzioe di x, è V ( x) x( x ) volume massimo si ottiee per V = = = x, quidi il volume del coo, V ' x = ( x ). Il coo di =, la cui derivata è ( ) 0,0 m 0,0 0 dm 0 litri x = e il volume massimo è 5. La fuzioe è defiita, cotiua e derivabile su tutto l asse reale, i particolare è cotiua sull itervallo [-, ] e derivabile sull itervallo (-, ). I valori x = c compresi tra - e f() f( ) 6 che verificao la codizioe f '( c) = = = soo c =±. I tali puti la ( ) retta tagete è parallela alla retta secate i (-; 0), (; 6).

5 Dopo l aumeto del 6% il prezzo p diveta p+ p = p; dopo la dimiuzioe del 6% il prezzo fiale risulta p = p = p. llo stesso prezzo fiale si giuge ivertedo le variazioi. omplessivamete il prezzo risulta dimiuito dello 0,6%, cioè è il 99,6% del prezzo iiziale. 7. L itegrale di ua fuzioe dispari defiito su u itervallo simmetrico rispetto all origie vale 0, come si può ituire dal sigificato geometrico dell itegrale defiito. Quidi, si ha ( + f ( x)) dx = dx + f ( x) dx = x + 0 =. _ 8. L equazioe è defiita per 5.! ( )! = 5!( )!!( 5)! ( )( )! 5( )! = ( )! ( 5)! ( ) = 5( ) = 0 da cui le soluzioi dell equazioe data soo = 0, = 6 etrambe accettabili. 9. L itegrale si risolve poedo x = si t, da cui dx = cost dt. Si ottiee, quidi, + cost x dx= cos t dt = dt = t+ si t+ c= t+ si tcost+ c= = ( arcsi x+ x x ) + c Ioltre, I = x dx== ( arcsi) = =, i accordo col sigificato geometrico 0 dell itegrale, che è l area della parte di cerchio di cetro l origie e raggio uitario racchiusa el primo quadrate (cioè u quarto). 0. I meridiai soo le circofereze che si ottegoo itersecado la superficie sferica co i piai coteeti la retta r; tali circofereze hao tutte raggio pari al raggio della sfera. I paralleli soo le circofereze che si ottegoo itersecado la superficie sferica co piai ortogoali alla retta r che distao meo di r dal cetro della sfera; i raggi dei paralleli misurao R d co R raggio di S e d distaza del piao dal cetro O di S. La latitudie di u puto P è l agolo che il raggio OP forma co il piao ortogoale a r e passate per O (piao equatoriale). La logitudie di u puto P è l agolo che il piao per P coteete l asse r forma co u piao per r di riferimeto (meridiao di Greewich). 5

6 OMMENTO LL PROV: ostro comue giudizio, il compito era piuttosto impegativo. Il primo problema, sovrabbodate di calcoli, poteva mettere i seria difficoltà ache u ragazzo preparato, il secodo problema, decisamete più fattibile, richiedeva comuque buoa padroaza geometrica e trigoometrica. I quesiti erao quasi tutti affrotabili da u ragazzo be preparato: il primo e l ultimo o erao molto ituibili e riguardavao argometi che di orma o si riescoo a trattare i modo esauriete. lessadra iglio, Giuliaa ru, laudia hau, toella uppari